Un esempio di notazione musicale e il formato pentagono dei libri

Su Youtube c’è un video che confronta la forma delle note e dei vari simboli della notazione musicale realizzati a mano per una serie di libricini risalente alla fine degli anni Trenta. Secondo l’autore del video a tracciare quelle forme sarebbe stato il celebre calligrafo e disegnatore di caratteri Hermann Zapf, divenuto un’autorità nella seconda metà del secolo. All’epoca doveva essere appena ventenne.

I volumi raccolgono canzoni patriottiche evidentemente apprezzate dai nazisti. L’autore del video preferisce non entrare nel merito, collocando qua e là qualche frecciatina polemica. Quello che gli interessa è la forma delle note, che può essere utile ai disegnatori moderni, e il fatto che questa era armonizzata con quella delle lettere che compongono i testi. Nell’impaginazione del libro era stato usato ancora il blackletter, una consuetudine nella stampa e nel giornalismo della Germania fino quasi alla fine della guerra. 

Il video mette in evidenza la curvatura dei profili delle note, l’inclinazione dei vari tratti e la particolare forma dei vari simboli specialistici inseriti sul pentagramma.

Per quanto riguarda la dimensione dei volumetti, l’autore del video dopo avere misurato i lati ne consegue che è compatibile col formato pentagono. Questa cosa non l’avevo mai sentita, e in effetti cercando con queste parole sui motori di ricerca non viene fuori nessun risultato pertinente, almeno in cima alla lista.

Di che si tratta? Semplice: il rapporto tra la base e l’altezza del libro è uguale al rapporto tra il lato e l’altezza di un pentagono, ossia una forma geometrica composta di cinque lati uguali (e cinque angoli uguali).

Ma quale è questo rapporto? I motori di ricerca non restituiscono nulla. Di formule ce ne sono a bizzeffe, ma riguardano i problemi geometrici elementari, nei quali l’altezza non è quasi mai contemplata. Le misure di base sono raggio, lato, diagonale, apotema e area, più il perimetro.

L’altezza, ossia la distanza tra un vertice e la metà del lato opposto, passando per il centro, in pratica è data dalla somma tra raggio e apotema. Il numero fisso per trovare l’apotema dal lato è fornito dalle tabelle, perché serve per calcolare l’area. Quello del raggio è già più defilato. Ok, ma volendo fornire una cifra?

Sul web non l’ho trovata, ma direi che corrisponde a 1,538 (o, arrotondando, 1,54). La si può misurare, ad esempio disegnando un pentagono con l’apposito pulsante presente in FontForge e attivando il pulsante col righello (che si attiva anche premendo il tasto R). Oppure la si può calcolare con la trigonometria: il raggio è pari a metà del lato diviso il coseno della metà dell’angolo al centro (un decimo dell’angolo giro, per il pentagono), mentre l’apotema è pari a metà del lato diviso la tangente dello stesso angolo.

In sintesi, se l’altezza di un libro è 1,54 volte la misura della sua base, vuol dire che ha le proporzioni del pentagono.

Nel formato A4 (quello delle risme per le normali stampanti), la pagina è leggermente più bassa: il rapporto è 1,41 circa, ossia radice quadrata di due. Questa cifra è stata scelta in maniera tale che tagliando il foglio in due, il rapporto tra lato lungo e lato corto rimane invariato. Così il formato A4 rappresenta la metà dell’A3, che è la metà dell’A2 e così via. Dividendo in due il formato A4 si ottiene il formato A5 (più o meno: in realtà c’è una differenza di mezzo millimetro).